方法1. 递推

设 $a_n$ 为 $n$ 条封闭曲线分割的区域数。 当 $n=1$ 时， $a_1 = 2$。

考虑加入第n条曲线产生的贡献

当加入第 $n$ 条曲线时：

1.它与前 $n-1$ 条曲线每条相交于 2 点，共产生 $2(n-1)$ 个交点。

2.这 $2(n-1)$ 个交点将第 $n$ 条曲线分成 $2(n-1)$ 段弧。

3.每一段弧都将原有的一个区域一分为二，因此增加了 $2(n-1)$ 个新区域。

得到递推公式：

$$a_n = a_{n-1} + 2(n-1)$$

时间复杂度$O(n)$,考虑优化。

方法 2. 通项公式

利用累加法求解：

$$\begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{i=2}^{n} 2(i-1) \\ &= 2 + 2 \times (1 + 2 + \dots + n-1) \\ &= 2 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} \\ &= 2 + n(n-1) \\ &= n^2 - n + 2 \end{aligned} $$

所以

$$ans = n^2 - n + 2$$