结论

将 n 个不同的球 放入 m 个相同的盒子（每个盒子至少放 1 个球）的放法数为 第二类斯特林数：

第二类斯特林数 $S(n, m)$ 表示将 n 个不同元素划分为 m 个非空子集的方式数。

方法解析

1. 递推公式
   第二类斯特林数满足以下递推关系：

   $$S(n, m) = m \cdot S(n - 1, m) + S(n - 1, m - 1)$$
   • $m \cdot S(n - 1, m)$：第 n 个球放入已有的 m 个盒子之一。
   • $S(n - 1, m - 1)$：第 n 个球单独放入一个新盒子。

2. 边界条件
   $S(0, 0) = 1$

放个代码，注意模数，时间复杂度$O(nm)$

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

long long n,m,S[1003][1003];

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	S[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=m;j++){
			S[i][j]=(j*S[i-1][j]%1000000007+S[i-1][j-1])%1000000007;
		}
	}
	printf("%lld",S[n][m]); 
	
	return 0;
}